Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 77
INTEGRAL TERTENTU
5.1 Pengertian Integral Tertentu
Definisi 5.1.1
Partisi P pada interval [a,b] adalah suatu subset berhingga P = {x0, x1, x2, …, xn} dari [a,b] dengan a = x0 < x1 < x2 < … < xn = b.
Jika P = {x0, x1, x2, …, xn} partisi pada [a,b] maka Norm P, ditulis P, didefinisikan sebagai P = max{xi – xi-1⏐1 = 1, 2, 3, …, n}.
a = x0 x1 x2 … xn = b.
Contoh 1:
Pada interval [–3, 3], suatu partisi P = {–3, –211, –21, 31, 2, 3}mempunyai norm: P = max{–211 – (–3), –21– (–211),31 – (–21), 2 – 31, 3 – 2}
= max{23, 1, 65, 35, 1}
= 35.
Jika f fungsi yang didefinisikan pada [a,b], P = {x0, x1, x2, …, xn} suatu partisi pada [a,b], wi ∈ [xi-1, xi], dan Δxi = xi – xi-1, maka disebut Jumlah Riemann f pada [a,b]. Σ=Δniiixwf1)(
w1 w2 w3 w4 wi wn
x0 = a x1 x2 x3 x4 xi-1 xi xn-1 b = xn-1
y = f(x)
5
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 78
Contoh 2:
Fungsi f pada [–3, 3] didefinisikan dengan f(x) = x2 – 1 dan P = {–3, –211, –21, 31, 2, 3} partisi pada [–3, 3]. Dipilih titik-titik: w1 = –2, w2 = –21, w3 = 0, w4 = 211, w5 = 322.
w1 = –2 ⎯→ f(w1) = 3 Δx1 = 23 ⎯→ f(w1).Δx1 = 29
w2 = –21 ⎯→ f(w2) = –43 Δx2 = 1 ⎯→ f(w2).Δx2 = –43
w3 = 0 ⎯→ f(w3) = –1 Δx3 = 65 ⎯→ f(w3).Δx3 = –65
w4 = 211 ⎯→ f(w4) = 45 Δx4 = 35 ⎯→ f(w4).Δx4 = 1225
w5 = 322 ⎯→ f(w5) = 955 Δx5 = 1 ⎯→ f(w5).Δx5 = 955
Jumlah Riemann fungsi f tersebut pada interval [–3, 3] bersesuaian dengan partisi P di atas adalah Σ= =Δ51)(iiixwf9100.
Jika P = {–3, –211, –1, –21, 31, 2, 21, 3} partisi pada [–3, 3] dan w1 = –2, w2 = –1, w3 –21, w4 = 0, w5 211, w6 31, serta w7 =43 tentukan jumlah Riemann fungsi f pada [–3, 3] bersesuaian dengan partisi P ini.
Definisi 5.1.2
1. Jika f fungsi yang terdefinisi pada [a,b] maka: LxwfniiiP=ΔΣ=→10)(lim jika dan hanya jika untuk setiap bilangan positif ε terdapat bilangan positif δ sehingga untuk setiap partisi P = {x0, x1, x2, …, xn} pada [a,b] dengan P< δ, berlaku Σ=−ΔniiiLxwf1)( < ε.
2. Jika f fungsi yang terdefinisi pada [a,b] dan Σ=→ΔniiiPxwf10)(lim ini ada, maka limit tersebut dinamakan integral tertentu (Integral Riemann) fungsi f pada [a,b]. Selanjutnya f dikatakan integrable pada [a,b] dan integralnya ditulis . ∫
badxxf)(
Jadi = ∫badxxf)(Σ=→ΔniiiPxwf10)(lim
3. Jika f integrable pada [a,b] maka: a. = – ∫
abdxxf)(∫badxxf)(
b. Jika a = b maka = = 0 ∫
badxxf)(∫aadxxf)(
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 79
Dari definisi 5.1.2 bagian 2 dapat dipahami bahwa jika , maka = 0)(>xf∫badxxf)(Σ=→ΔniiiPxwf10)(lim secara geometris menyatakan luas daerah di bawah kurva , di atas sumbu X, di antara garis x = a dan x = b. )(xfy=
Contoh 3:
Jika f(x) = x + 3, tentukan . ∫−+32)3(dxx
Penyelesaian:
-3 -2 -1 0 1 2 3
Y
f(x) = x + 3
3
Buat partisi pada [–2, 3] dengan menggunakan n interval bagian yang sama panjang. Jadi panjang setiap interval bagian adalah Δx = n5.
Dalam setiap interval bagian [xi-1,xi] partisi tersebut diambil wi = xi.
Akan dicari nilai Σ=→ΔniiiPxwf10)(lim.
X
x0 = –2
x1 = –2 + Δx = –2 + n5
x2 = –2 + 2Δx = –2 + 2(n5)
x3 = –2 + 3Δx = –2 + 3(n5)
.
:
xi = –2 + i.Δx = –2 + i(n5)
.
:
xn = –2 + n.Δx = –2 + n(n5) = 3
Karena untuk setiap i = 1, 2, 3, …, n dipilih wi = xi maka wi = –2 + i(n5)= –2 + ni5, sehingga
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 80
f(wi) = wi + 3
= (–2 + ni5) + 3
= 1 + ni5
Jadi jumlah Riemann fungsi f pada [–2, 3] bersesuaian dengan partisi P tersebut adalah
Σ=Δniiixwf1)( = Σ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+ninni1551
= Σ=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+ninin1515
= ΣΣ==+ninininn115515
= ΣΣ==+niniinn1212515
= )}1({25)(5212++nnnnn
= 5 + ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+n11225
Jika P → 0 maka n → ∞, sehingga:
Σ=→ΔniiiPxwf10)(lim= ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛++∞→nn112255lim
= 2117
Jadi = ∫−+32)3(dxx2117.
Contoh 4:
Tentukan . ∫
badx
Penyelesaian:
Dalam hal ini f(x) = 1 untuk setiap x ∈ [a,b]. Ambil sembarang partisi P = {x0, x1, x2, …, xn} pada [a,b] dan sembarang titik wi ∈ [xi-1, xi], i = 1, 2, 3, …, n, maka
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 81
Σ=Δniiixwf1)( = dan Δxi = xi – xi-1 Σ=Δniix1.1
= Σ=−−niiixx11)(
= (x1 – x0) + (x2 – x1) + (x3 – x2) + … + (xn – xn-1)
= xn – x0
= b – a
Jadi Σ=→ΔniiiPxwf10)(lim = )(lim0abP−→ = b – a
Dengan demikian = b – a. ∫
badx
Teorema 5.1.3 (Teorema Fundamental Kalkulus)
Jika f integrable pada [a,b] dan F suatu anti turunan dari f pada [a,b]
(atau F’(x) = f(x) untuk setiap x ∈ [a,b]), maka : = F(b) – F(a) ∫
badxxf)(
F(b) – F(a) biasa ditulis []baxF)(
Bukti:
Ambil sembarang partisi P = {x0, x1, x2, …, xn} pada [a,b]. Karena F’(x) = f(x) untuk setiap x ∈ [a,b] maka F’(x) = f(x) untuk setiap x ∈ [xi-1, xi], i = 1, 2, 3, …, n. Berdasarkan teorema nilai rata-rata maka terdapat wi ∈ [xi-1, xi] sehingga
F(xi) – F (xi-1) = F’(wi) (xi – xi-1)
= f(wi) (xi – xi-1) i = 1, 2, 3, …, n
Diperoleh:
Σ=Δniiixwf1) Σ=−−niiiixxwf11))((
= Σ=−−niiixFxF11)}()({
= {F(x1) – F(x0)} + {F(x2) – F(x1)} + {F(x3) – F(x2)} + … + {F(xn) – F(xn-1)}
= F(xn) – F(x0)
= F(b) – F(a)
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 82
Σ=→ΔniiiPxwf10)(lim = )}()({lim0aFbFP−→= F(b) – F(a).
Jadi ∫ = F(b) – F(a) badxxf)(
Contoh 5
∫−+32)3(dxx = []322213−+xx = )}2(3)2({)}3(3)3({221221−+−−+ = 2117.
Contoh 6
Tentukan integral berikut.
1. ∫−223dxx
2. ∫−ππdxxsin
Teorema 5.1.4
Jika f integrable pada [a,b] dan c ∈ (a,b) maka = + ∫
badxxf)(∫cadxxf)(∫bcdxxf)(
Teorema 5.1.5
1. k konstanta ∫∫=babadxxfkdxxkf)()(
2. ∫∫∫+=+bababadxxgdxxfdxxgxf)()()}()({
3. Jika f(x) ≥ 0 untuk setiap x ∈ [a,b] maka ≥ 0. ∫
badxxf)(
4. Jika f(x) ≤ g(x) untuk setiap x ∈ [a,b] maka ≤ ∫
badxxf)(∫badxxg)(
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 83
5.2 Aplikasi Integral
5.2.1 Luas Daerah
Berdasarkan pengertian integral tertentu (Integral Riemann) pada definisi 5.1.2 dan uraian di atas dapat dipahami bahwa jika , maka secara geometris menyatakan luas daerah di antara kurva 0)(>xf)(x∫badxxf)(fy= dan sumbu X serta dibatasi oleh garis-garis x = a dan x = b. Jadi
∫=badxxfA)(
Contoh 7
Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = x + 3, sumbu X, garis x = –2 dan garis x = 3.
Penyelesaian:
A = = ∫−+32)3(dxx[]322213−+xx = )}2(3)2({)}3(3)3({221221−+−−+ = 2117.
Contoh 8
Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva , sumbu X, garis x = –2 dan garis x = 2. 3xy=
Penyelesaian:
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 84
Y
)(xfy=
)(xgy=
a b X
Selanjutnya jika suatu daerah dibatasi oleh dua kurva )(xfy= dan serta garis-garis x = a dan x = b seperti gambar di atas, maka luas daerahnya adalah sebagai berikut )(xgy=
{}∫−=badxxgxfA)()(b
Contoh 9
Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva dan . 4xy=22xxy−=
Penyelesaian:
Menentukan batas-batas dicari dengan menentukan akar-akar persamaan yang dapat kita temukan akar-akarnya adalah x = 0 dan x = 1. 242xxx−=
sehingga luasnya adalah A = = ∫−−1042)2(dxxxx105325131⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−xxx = 15751311=−−.
22xxy−=
Y
X
0
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 85
Selanjutnya jika suatu daerah dibatasi oleh dua kurva )(yxϕ= dan )(yxψ= serta garis-garis y = c dan y = d seperti gambar di bawah ini, maka luas daerahnya adalah sebagai berikut
{}∫−=dcdyyyA)()(ϕψ
Y
d
x = ϕ(y)
x = ψ (y)
c
X
0
Contoh 10
Tentukan luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva dan xy42=434=−yx.
Penyelesaian:
434=−yx
Menentukan batas-batas dengan mencari akar-akar persamaan yang diperoleh y = –1 dan y = 4. 432+=yy
xy42= ekuivalen dengan 241yx= dan 434=−yx ekuivalen dengan )43(41+=yx
Y
0
X
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 86
sehingga luasnya adalah A =∫−⎭⎬⎫⎩⎨⎧−+41241)43(41dyyy = {∫−−+4124341dyyy = 24125.
5.2.2 Volume Benda Putar
a. Metode Cincin
Y 0 y = f(x) a b
1−ix ix wi f(wi)
Jika daerah yang dibatasi kurva y = f(x), sumbu X, garis-garis x = a dan x = b diputar mengelilingi sumbu X sebagai sumbu putar, maka volume benda putar yang terjadi dapat dicari sebagai berikut.
Dibuat partisi P = {x0, x1, x2, …, xn} pada [a,b]. Untuk setiap i = 1, 2, …, n dipilih satu titik wi ∈ [xi-1, xi], selanjutnya dibuat persegi panjang dengan panjang f(wi) dan lebar Δxi = xi – xi-1. Jika persegi panjang ini diputar terhadap sumbu X, maka diperoleh silinder hampiran dengan volume
{}iiixwfVΔ=Δ2)(π
Δxi
Akibatnya diperoleh jumlahan Riemann
{}ΣΣ==Δ=ΔniiiniixwfV121)(π
Apabila P→ 0 maka diperoleh volume benda putar yang dimaksud, yaitu
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 87
{}Σ=→Δ=niiiPXxwfV120)(limπ
= {}∫badxxf2)(π{}∫π
Jadi
{}∫=baXdxxfV2)(π{}∫=π
Selanjutnya apabila daerah yang dibatasi oleh dibatasi oleh dua kurva )(xfy)(xfy= dan serta garis-garis x = a dan x = b seperti gambar di bawah ini diputar mengelilingi sumbu X sebagai sumbu putar, maka volume benda yang terjadi adalah )(xgy=
{}{}[]∫−=baXdxxgxfV22)()(π
0a bY y = f(x) y = g(x)
Dengan cara sama, jika daerah yang dibatasi kurva x = ϕ(y), sumbu Y, garis-garis y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu Y sebagai sumbu putar, maka volume benda putar yang terjadi adalah.
{}∫=dcYdyyV2)(ϕπ
Demikian pula apabila daerah yang dibatasi oleh dua kurva )(yxψ= dan )(yxϕ= serta garis-garis y = c dan y = d diputar mengelilingi sumbu Y sebagai sumbu putar, maka volume benda yang terjadi adalah
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 88
{}{}[]∫−=dcYdyyyV22)()(ϕψπ
Contoh 11
Tentukan volume benda putar yang terjadi apabila daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva xy=, sumbu X dan garis x = 4 diputar mengelilingi sumbu X.
Penyelesaian:
xy=
{}∫=402dxxVXπ = πππ82140240=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∫xdxx
Contoh 12
Tentukan volume benda putar yang terjadi apabila daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva , sumbu Y dan garis x = 3 diputar mengelilingi sumbu Y. 3xy=
Penyelesaian:
3yx=
3xy= 3yx={}ππππ5995333530302332=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡===∫∫ydyydyyVY
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 89
Contoh 13 nda putar yang terjadi apabila dae
2xy= dan y
x82=
esaian: xy82= xy8=
m
{}{}[][]π
55000⎥⎦⎢⎣X
T
b. Metode Kulit Tabung
Perhatikan gambar di samping.
Volume
h)
rrV(2122ππ−=
hrr)(2122−=π
hrrrr))((1212−+=π
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 90
hrr
rr12−⎞⎛+=πrhrΔ=π2
dengan 212rrr+= dan 12rrr−=Δ Misalkan diketahui daerah dibatasi oleh kurva y = f(x), sum
titik 21−+=iiixxw ∈ [xi-1, xi], selanjutnya dibuat persegi panjang dengan panjang
tabung hampiran dengan volume
iiiixwfwVΔ=Δ)(2π
ΣΣΔ=Δnnπ
==iiiiiixwfwV11)(2P
aΣ=→Δ
=f
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 91
=
Jadi
a kurva
∫badxxfx)(2π
∫=YdxxfxV)(2π
baSelanjutnya apabila daerah yang dibatasi oleh dibatasi oleh du )(xfy=)(xgy=r mengelilingi
[∫−=bYdxxgxfxV)()(2π
aoleh kurva x = ψ(x), sumbu Y
Dengan cara sama, misalkan diketahui daerah dibatasi
. Apabila daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu X sebaga benda putar yang terjadi adalah
∫=dcXdyyyV)(2ψπ
y = f(x) y = g(x) 0Xa b Δxi
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 92
Demikian pula apabila daerah yang dibatasi oleh dua kurva )(yxψ= dan )(yxϕ= serta garis-garis y = c dan y = d seperti gambar di bawah in
[]∫−=dcXdyyyyV)()(2ϕψπ
c d Y 0 x =
ϕ(y) x
Contoh 14 e benda putar yang terjadi apabila daerah tertutup yang
xππππ3283222124123412141=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡===∫∫xdxxdxxxVY
Contoh 15 x
tDalam hal ini 0>r dan 0>t. Jika daerah
v
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 93
aian:
Dengan metode cincin
Penyeles
Cara I ∫⎭⎬⎫⎩⎨⎧=tXdxxtrV02π
X xtry= Y 0 t r ∫=tdxxtr0222π txtr032231⎥⎦⎤⎢⎣⎡=π tr231π=
Cara II xtry=yrtx= ∫−=rXdyyrttyV0)(2π ∫−=rdyyryt02)1(2π ryryt03231212⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=π ⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=2231212rrtπ tr231π=
anjang Kurva Misalkan suatu kurva mulus diberikan oleh persamaa
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 94
Dibuat partisi P = {t0, t1, t2, …, tn} pada [a,b] dengan a = t0 < t1 < t2 < … < tn = b, maka kurva akan terbagi menjadi n bagian oleh titik-titik Q0, Q1, Q2, …, Qn-1, Qn. Perhatikan gambar berikut.
Pada bagian ke i, panjang busur Qi-1Qi , yaitu isΔ dapat didekati oleh . Dengan Pythagoras kita peroleh iwΔ
iwΔ = 22)()(iiyxΔ+Δ
[][2121)()()()(−−−+−=iiiitgtgtftf
Selanjutnya berdasarkan Teorema Nilai Rata-rata pada Derivatif tentu terdapat ),(1iittt−∈ dan demikian sehingga ),(ˆ1iittt−∈))((')()(11−−−=−iiiiitttftftf
))(ˆ(')()(11−−−=−iiiiitttgtgtg
atau iiiittftftfΔ=−−)(')()(1
iiiittgtgtgΔ=−−)ˆ(')()(1
dengan . 1−−=Δiiittt
Oleh karena itu diperoleh [][]22)ˆ(')('iiiiittgttfwΔ+Δ=Δ [][]iiittgtfΔ+=22)ˆ(')('
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 95
dan panjang polygon dari segmen garis [][]ΣΣ==Δ+=Δniiiiniittgtfw1221)ˆ(')('
Apabila P→ 0 maka diperoleh panjang kurva seluruhnya adalah [][][][]∫Σ+=Δ+==→baniiiiPdttgtfttgtfL221220)(')(')ˆ(')('lim
Jadi
[][]∫+=badttgtfL22)(')('
atau ∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=badtdtdydtdxL22
Jika persamaan kurvanya adalah y = f(x) dengan a ≤ x ≤ b, maka ∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=badxdxdyL21
dan jika persamaan kurvanya adalah x = ψ(y) dengan c ≤ y ≤ d, maka ∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=dcdydydxL21
Contoh 16
Hitunglah keliling lingkaran . 222ryx=+
Penyelesaian:
Lingkaran tersebut dapat ditulis dalam persamaan parameter sebagai
x = r cos t, y = r sin t dengan π20≤≤t, sehingga trdtdxsin−= dan trdtdycos=. Akibatnya []rtrdtrdttπ202=∫
Contoh 17
Menggunakan integral hitunglah panjang ruas garis yang menghubungkan titik P(0, 1) dan Q(5, 13).
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 96
Penyelesaian:
Persamaan ruas garis PQ adalah 1512+=xy, sehingga 512=dxdy. Oleh karena itu 1351351351215050502=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=∫∫xdxdxL
Contoh 18
Menggunakan integral hitunglah panjang kurva 23xy= dari (1, 1) dan (4, 8).
Penyelesaian: 23xy=, maka 2123xdxdy=. Oleh karenanya 63,781310278491278491231232341234141221≈⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=∫∫xdxxdxxL
Diferensial Panjang Busur
Misalkan f suatu fungsi yang dapat didiferensialkan pada [a, b]. Untuk setiap ),(bax∈ didefinisikan s(x) sebagai ∫+=xaduufxs2)]('[1)(
maka s(x) adalah panjang kurva y = f(u) dari titik (a, f(a)) ke titik (x, f(x)), sehingga 221)]('[1)('⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=+==dxdyxfdxdsxs
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 97
Oleh karenanya diferensial panjang kurva ds dapat ditulis sebagai dxdxdyds21⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=
Selanjutnya hal ini dapat ditulis dalam bentuk-bentuk dydydxds21⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+= atau dtdtdydtdxds22⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=
Untuk keperluan mengingat, dapat pula ditulis dalam bentuk:
222)()()(dydxds+=
5.2.4 Luas Permukaan Benda Putar
Kita mulai dengan mencari rumus untuk luas permukaan (selimut) kerucut terpancung. Misalkan jari-jari lingkaran alas kerucut terpancung adalah r1 dan jari-jari lingkaran atasnya r2 sedangkan panjang ruas garis pada pembangun kerucut antara dua lingkaran itu (rusuk kerucut terpancung) l, maka luas selimut kerucut terpancung itu adalah lrrA⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=2221π
Apabila sebuah kurva pada suatu bidang diputar mengelilingi sebuah garis pada bidang itu, maka hasilnya berupa permukaan benda putar dengan luas permukaan dapat dicari sebagai berikut.
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 98
Pemutaran terhadap sumbu X
Misalkan suatu kurva mulus pada kuadran pertama diberikan oleh persamaan parameter x = f(t), y = g(t), a ≤ t ≤ b. Dibuat partisi P = {t0, t1, t2, …, tn} pada [a,b] dengan
a = t0 < t1 < t2 < … < tn = b, maka kurva terbagi menjadi n bagian. Misalkan panjang kurva bagian ke i dan ordinat sebuah titik pada bagian ini. Apabila kurva itu diputar mengelilingi sumbu X, maka ia akan membentuk suatu permukaan dan bagian ini akan membentuk permukaan bagian. Luas permukaan bagian ini dapat dihampiri oleh luas kerucut terpancung, yaitu isΔiyisΔiisyΔπ2.
Apabila kita jumlahkan luas-luas ini dan kemudian mengambil limitnya dengan membuat 0→P, kita akan memperoleh hasil yang kita definisikan sebagai luas permukaan benda putar tersebut. Jadi luasnya adalah ∫Σ=Δ==→***1022limdsysyAniiiPππ
Dengan menggunakan rumus A tersebut di atas, kita harus memberi arti yang tepat pada y, ds, dan batas-batas pengintegralan * dan **.
Misalkan apabila permukaan itu terbentuk oleh kurva )(xfy=, a ≤ x ≤ b, yang diputar mengelilingi sumbu X, maka kita peroleh untuk luasnya: dxxfxfdsyAba∫∫+==2***)]('[1)(22ππ
Contoh 19
Tentukan luas permukaan benda putar apabila kurva xy=, 0 ≤ x ≤ 4, diputar mengelilingi sumbu X.
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 99
Penyelesaian:
Misalkan xxf=)( maka xxf21)('=, sehingga 18,36)117(6)14(324114211223402340402≈−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=∫∫ππππxdxxdxxxA
Apabila persamaan kurva yang bersangkutan diketahui dalam bentuk persamaan parameter x = f(t), y = g(t), a ≤ t ≤ b, maka rumus untuk luas permukaan menjadi: dttgtftgdsyAba∫∫+==22***)]('[)]('[)(22ππ
Contoh 20
Tentukan luas permukaan benda yang terbentuk apabila suatu busur dari sikloid π20),cos1(),sin(≤≤−=−=ttayttax diputar mengelilingi sumbu X.
Penyelesaian:
X 2
Misalkan dan )sin()(ttatf−=)cos1()(tatg−=, maka )cos1()('tatf−= dan , sehingga: tatgsin)('=dttatataA∫+−−=ππ202222sin)cos1()cos1(2
dttta∫−−=ππ202cos22)cos1(2
dtta∫−=ππ20232)cos1(22
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 100
dtta∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛=ππ20322sin8
dttta∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=ππ20222sin2cos18
Dengan substitusi ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=2costu maka dttdu⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=2sin21
Untuk t = 0 → u = 1
Untuk t = 2π → u = –1
Jadi 2113211223643116)1(16auuaduuaAπππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−−=−−∫
Pemutaran terhadap sumbu Y
Analog:
Apabila sebuah kurva pada suatu bidang diputar mengelilingi sumbu Y, maka hasilnya berupa permukaan benda putar dengan luas permukaannya adalah:
∫=***2dsxAπ
Contoh 21
Tentukan luas permukaan benda yang terbentuk apabila kurva ayayax≤≤−−=,22 diputar mengelilingi sumbu Y.
Penyelesaian:
Misalkan 22)(yaygx−== maka 22)('yayyg−−=
sehingga ∫∫−−+−==aadyyayyadsxA22222***122ππ
[]∫−−===aaaaayadya2422πππ
Dengan demikian luas permukaan bola dengan jari-jari a adalah 4πa2.
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 101
5.2.5 Usaha atau Kerja
Dalam fisika kita tahu bahwa apabila ada gaya F yang konstan menggerakkan suatu benda sehingga bergerak sejauh d sepanjang suatu garis dengan arah gaya dan gerakan benda sama, maka kerja W yang dilakukan oleh gaya tersebut adalah
W = F . d
Apabila satuan untuk F adalah pond an satuan jarak adalah kaki maka satuan kerja adalah kaki pond. Apabila gaya diukur dengan satuan dyne dan jarak dengan satuan sentimeter maka satuan kerja adalah dyne cm atau erg. Apabila gaya diukur dengan satuan Newton dan jarak dengan satuan meter maka satuan kerja adalah Newton meter atau joule.
Pada kenyataannya biasanya gaya itu tidak konstan. Misalkan sebuah benda digerakkan sepanjang sumbu X dari titik x = a ke titik x = b. Misalkan gaya yang menggerakkan benda tersebut pada jarak x adalah F(x) dengan F suatu fungsi kontinu. Untuk menentukan kerja yang dilakukan gaya tersebut dapat dicari sebagai berikut.
Interval [a,b] dibagi dengan menggunakan partisi P = {x0, x1, x2, …, xn}. Pada setiap interval bagian [xi-1, xi] gaya F dapat dihampiri oleh gaya konstan F(wi), dengan wi ∈ [xi-1, xi] untuk setiap i = 1, 2, …, n. Jika Δxi = xi – xi-1, maka kerja yang dilakuka gaya F pada interval bagian [xi-1, xi] adalah
ΔWi = F(wi) Δxi.
Jika dijumlahkan kemudian dicari limitnya untuk 0→P maka diperoleh kerja yang dilakukan gaya F pada interval [a, b], yaitu ∫Σ=Δ==→baniiiPdxxFxwFW)()(lim10
Jadi
∫=badxxFW)(
a. Aplikasi pada Pegas
Dengan menggunakan hokum Hooke yang berlaku dalam fisika, gaya F(x) yang diperlukan untuk menarik (atau menekan) pegas sejauh x satuan dari keadaan alami adalah
F(x) = k.x
Di sini, k adalah konstanta dan disebut konstanta pegas yang nilainya positif dan tergantung pada sifat fisis pegas. Semakin keras pegas, maka semakin besar nilai k.
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 102
Contoh 22
Apabila panjang alami sebuah pegas adalah 10 inci. Untuk menarik dan menahan pegas sejauh 2 inci diperlukan gaya 3 pon. Tentukan kerja yang dilakukan gaya untuk menarik pegas itu sehingga panjang pegas 15 inci.
Penyelesaian:
Menurut hokum Hooke gaya F(x) yang diperlukan untuk menarik pegas sejauh x inci adalah F(x) = k.x. Dari sini dapat dicari nilai konstanta k. Diketahui bahwa F(2) = 3, sehingga 3 = k.2 atau 23=k. Oleh karena itu xxF23)(=.
Apabila pegas dalam keadaan alami sepanjang 10 inci menyatakan x = 0, maka pegas dengan panjang 15 inci menyatakan bahwa x = 5, sehingga 75,184752350===∫dxxW
Jadi, kerja untuk menarik pegas itu adalah 18,75 inci pond.
b. Aplikasi pada Pemompaan Cairan
Dengan menggunakan prinsip-prinsip yang sama dapat dihitung kerja yang dilakukan pada pemompaan cairan.
Contoh 23
Sebuah tangki berbentuk kerucut lingkaran tegak penuh dengan air. Apabila tinggi tangki 10 kaki dan jari-jari lingkaran atasnya 4 kaki,
a. tentukan kerja untuk memompa air sehingga sampai tepi tangki
b. tentukan kerja untuk memompa air sehingga mencapai 10 kaki di atas tepi tangki.
Y
10 – y
y
Δy
(4, 10)
X
Integral Tertentu
Thobirin, Kalkulus Integral 103
Penyelesaian:
a. Letakkan tangki dalam system koordinat seperti tampak dlam gambar. Buatlah sketsa yang berdimensi tiga dan juga sketsa penampang dimensi dua. Misalkan air dimasukkan ke dalam kerucut-kerucut terpancung (horizontal),
Air ini harus diangkat sehingga mencapai tepi tangki. Perhatikan sebuah kerucut terpancung ke i dengan tinggi yang berjarak y dari puncak kerucut (puncak kerucut berada di bawah), memiliki jari-jari yΔy10, maka ia mempunyai volume hampiran yyVΔ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=Δ2104π dan beratnya (gaya berat) yyFΔ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=2104πδ, dengan δ = 62,4 adalah kepadatan air dalam satuan pon/kaki kubik. Gaya yang diperlukan untuk mengangkat air tersebut adalah sama dengan beratnya dan harus diangkat sejauh 10 – y. Jadi kerja WΔ adalah )10(1042yyyW−Δ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=Δπδ
Karenanya, apabila dijumlahkan kemudian dicari limitnya diperoleh 138,2641310254)10(2541004310032≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−=∫yydyyyWπδπδ
Jadi kerja untuk memompa air sehingga sampai ke tepi tangki adalah 26,138 kaki pond.
b. Seperti dalam a, sekarang air dalam kerucut terpancung harus diangkat 20 – y, sehingga 69,13041320254)20(254)20(10410043100321002≈⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−=−⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∫∫yydyyydyyyWπδπδπδ
Jadi kerja untuk memompa air sehingga sampai ke tepi tangki adalah 130,690 kaki pond.
